Замена на эквивалентную под знаком предела

Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой. Графический смысл предела функции - движение графика функции к Теорема о замене на эквивалентные при переходе к пределу. Примеры .. имеет целую часть r1 и один десятичный знак после запятой). Таблица эквивалентных бесконечно малых. Предел последовательности. Понятие числовой последовательности Ограниченные последовательности .

Построим последовательностькоторая стремится к нулю, и вычислим несколько значений трёхчлена: Говорят, что функция более высокого порядка малости, чем функцииа также более высокого порядка малости. Именно от него зависит, насколько быстро сумма приблизится к нулю: Иногда говорят, что более низкого порядка малости, чем и их сумма. В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах: Пример 1 Вычислить предел Здесь неопределённостьи из вводного урока о пределах функций вспоминаем общий принцип раскрытия данной неопределённости: В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя.

Как и в случае с бесконечно большими функциями, ответ можно узнать заранее. Пример 2 Вычислить предел Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ: Алгоритм решения, точно такой же, как и в предыдущем примере: В данном примере знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель. Например, еслито — уже в 40 раз больше…. И совсем простой демонстрационный предел: В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя.

Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости. На самом деле сравнение бесконечно малых функций давно фигурировало на предыдущих уроках: Что принципиально важно во всех рассмотренных примерах?

Во-первых, предел должен вообще существовать в данной точке.

  • Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела
  • Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов.
  • Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Например, предела не существует. Подобные, казалось бы, вычурные примеры встречаются на практике: Приводятся многочисленные примеры решения задач.

Пособие может быть использовано как справочный материал при подготовке к экзамену. Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения картинки, формулы, графики отсутствуют. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, то. Смысл этой теоремы понятен из рисунка. Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Дифференциальное и интегральное исчисления.

Доказательство проведем методом от противного. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ

Если f x стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что xпринимает только значения, меньшие a, то пишут и называют b пределом функции f x в точке a слева. Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f x не совпадают, то функция не имеет предела двустороннего в точке. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Условные выражения характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей. При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени. Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев. График функции изображен на рисунке. Приведем доказательство записанной формулы. Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем.

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом. Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности.